POLIGONO DE VELOCIDADES

Velocidad relativa

La velocidad relativa entre dos cuerpos es el valor de la velocidad de un cuerpo medida por el otro. Denotaremos al valor la velocidad relativa de un observador B respecto a otro observador A como VBA.

Velocidad relativa en mecánica clásica

Dadas dos observadores, A y B, cuyas velocidades medidas por un tercer observador son y , respectivamente, la velocidad relativa de B con respecto a A se denota como y viene dada por:

Naturalmente, la velocidad relativa de A con respecto a B se denota como y viene dada por:

de modo que las velocidades relativas y tienen el mismo módulo pero sentidos opuestos.

El cálculo de velocidades relativas en mecánica clásica es totalmente aditivo y encaja con la intuición común sobre velocidades; de esta propiedad de la aditividad surge el método de la velocidad relativa.

Las definiciones y propiedades anteriores para dos observadores en movimiento relativo se aplican también para el caso de dos partículas clásicas A y B, cuyas velocidades medidas por un observador dado sean y , respectivamente.

Cinemática del sólido rígido

El concepto de velocidad relativa es particularmente útil en la cinemática del sólido rígido. Si se acepta que las distancias entre los diversos puntos de un sólido no varían mientras este se está moviendo por el espacio, entonces el sólido es modelizable como sólido rígido y conocida la velocidad angular del sólido en cada instante y la velocidad de un punto O del sólido, podemos conocer la velocidad de cualquier otro punto P, mediante la relación:
(2)
Donde:

, son las velocidades de las partículas O y P medidas en un mismo referencial considerado como fijo o absoluto.

, es el vector posición del punto P con respecto al punto O; esto es que tiene como origen el punto O y como extremo el P. En general, este vector, aunque de módulo constante, cambiará de dirección en el espacio en en transcurso del tiempo.

Velocidad relativa en mecánica relativista

En mecánica relativista la velocidad relativa no es aditiva, eso significa que si se tienen tres observadores A y B, moviéndose sobre una misma recta a velocidades diferentes vA,vB, según un tercer observador O, sucede que:
(3)

Velocidad relativa resultante para dos observadores que se mueven uno hacia el otro.
Para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, las desigualdades se cumplen de modo aproximado, pero para valores comparables a los de la luz la velocidad relativa es significativamente menor que el valor predicho por la mecánica clásica. Esto sucede porque al moverse con diferentes velocidades los dos observadores perciben el transcurso del tiempo y las distancias de modo diferente.

De hecho la velocidad relativa máxima jamás excede a la velocidad de la luz, mientras que según los postulados de la mecánica clásica no existe un límite superior para la velocidad relativa de un observador respecto a otro.

El cálculo relativista exacto revela que el efecto de dilatación del tiempo diferente para dos observadores que se mueven uno con respecto a otro lleva a unas velocidades relativas medidas por cada uno de ellos dadas por:
(4)

A partir de esta expresión (4) puede probarse que:

• Para velocidades de los observadores estrictamente inferiores a las de la luz, la velocidad relativa dada por (4) es siempre inferior a la velocidad de la luz, c. Por ejemplo dos observadores que viajen en direcciones contrarias a velocidades dadas por medirán velocidades relativas:

Mientras que la mecánica newtoniana habría predicho en este caso:

• De acuerdo con lo anterior, ningún observador puede medir jamás que un objeto físico se acerque a una velocidad superior a la de la luz, hecho que encaja con el hecho de que la máxima velocidad de propagación esperada es precisamente la velocidad de la luz.

• Si una partícula se mueve a la velocidad de la luz para cualquier otro observador que se mueva a una velocidad inferior , la velocidad relativa . Este hecho encaja con el hecho de que la luz tiene la misma velocidad en todos los sistemas de medida independientemente de la velocidad a la que estos se muevan.

ARTICULACIONES:

Son comunes dos tipos de articulaciones: la prismática y la giratoria. Una junta prismática, también conocida como junta deslizante, posibilita a un eslabón deslizarse en línea recta sobre otro. Una junta giratoria, si consideramos el caso de un grado de libertad, toma la forma de una bisagra entre un eslabón y el próximo. Dos o más articulaciones de éstas puede combinarse estrechamente.

ANÁLISIS CINEMÁTICA:

Es necesario conocer la localización y orientación del efector Terminal dados los estados de todas las articulaciones, esto se conoce como el problema de cinemática directa. El problema de cinemática inverso es encontrar los estados de todas las articulaciones para una localización y orientación dadas del efector Terminal. En el anterior estado significa la posición angular de una articulación giratoria o el desplazamiento de una articulación prismática.

SISTEMAS DE COORDENADAS Y TRANSFORMACIONES:

Se puede describir la posición de cualquier punto en el espacio con respecto a algún sistema de coordenadas arbitrario fijo. Si el sistema de coordenadas se fija a una línea horizontal o bien al suelo las coordenadas de este punto en este sistema se dicen que están definidas en coordenadas universales. Por conveniencia es corriente fijar este sistema de coordenadas a la base del robot.

También esta el sistema “efector Terminal”. Para un juego de ángulos de articulación dado, se relacionarán los sistemas de coordenadas universales y del efector terminal, un punto descrito en un sistema puede transformarse a una descripción en el otro sistema. Situemos un punto localizado en las coordenadas (Xo, Yo, Zo) en el sistema base (coordenadas universales). Aunque es mas conveniente utilizar una notación vectorial de manera que describiremos la localización de Q por el vector qo = [Xo, Yo, Yo] en coordenadas universales. En forma similar, Q puede describirse por el vector q1=[X1, Y1, Z1] en el sistema de coordenadas del efector terminal.

Movimiento absoluto

Tipo de movimiento el cual hace referencia respecto a un marco fijo.

Movimiento relativo

Cambio de posición respecto de un sistema de referencia que a su vez se mueve respecto a otro sistema de referencia. No se puede hablar de un sistema de referencia absoluto ya que no se conoce un punto fijo en el espacio que pueda ser elegido como origen de dicho sistema. Por tanto, el movimiento tiene carácter relativo.

En el análisis de los mecanismos los movimientos de rotación y traslación son movimientos absolutos y el movimiento combinado o complejo se analiza utilizando una relatividad entre dos puntos con movimiento diferente.

PROCEDIMIENTO PARA EL ANÁLISIS DEL MÉTODO DEL POLÍGONO

Ejemplo de mecanismo manivela - biela - corredera

1.- Contando como dato con la 2, y sabiendo que el movimiento del elemento 2 es rotacional, se calcula la velocidad del punto A. El vector de la velocidad de A es perpendicular a la distancia RO2-A y el sentido depende del sentido de la velocidad angular 2.


2.- El elemento 3 tiene un tipo de movimiento combinado, por lo cual el análisis a aplicar es el de movimiento relativo, teniendo que plantear la ecuación correspondiente a este moviendo.

I- Si usted desea plantear la ecuación de la velocidad de G con respecto de A tiene que considerar lo siguiente:

Ec(1)
Del vector de velocidad en G (VG) no se conoce la magnitud ni la dirección debido a que no conocemos la trayectoria que describe (a excepción que se haga un análisis de su movimiento).

Del vector de velocidad en A (VA) se conoce la magnitud y dirección (ya visto en paso 1).

Del vector de velocidad relativa (VG/A) se conoce solo su dirección dado que su ecuación de magnitud depende de la velocidad angular de la barra 3 ( 3).

Usted se dará cuenta de que cuenta con 3 incógnitas: magnitud y dirección de la velocidad de G, y la dirección de la velocidad relativa G/A. POR LO TANTO NO PODRÁ GRAFICAR TAL ECUACIÓN VECTORIAL POR EL MÉTODO GRAFICO, RECUERDO QUE COMO MÁXIMO DEBE DE HABER SOLO 2 INCÓGNITAS.

VG/A = 3•RAG su dirección es perpendicular a la distancia RAB

II.- Bien, debido a que no pudo graficar la ecuación anterior, haga referencia al punto siguiente: B. Recordando que el movimiento analizado en este momento es el combinado, la ecuación será la siguiente:

Ec(2)
VA anteriormente fue calculado, por lo tanto en este vector no hay incógnitas.
VB solo tiene una incógnita dado que cuenta con su dirección, y su magnitud es dada por la siguiente ecuación:

VB = 3 x RAB =? Ec(3)
VB/A solo conocemos su dirección, y desconocemos su magnitud (en este caso no se plantea una ecuación para su magnitud dado que estamos hablando de un punto en movimiento de traslación rectilínea)

Como solo hay dos incógnitas se realiza la ecuación vectorial siguiendo el orden, hay que considerar el signo de igual como el origen del polígono a trazar.
Nota: antes de empezar a graficar seleccione una escala que se acople a los valores que tiene, por ejemplo, 1cm : 10 cm/seg, esto es, cada cm que usted grafique equivale a 10 cm/seg

El sentido de la velocidad de B/A es dirigido hacia abajo debido a que se esta sumando con la velocidad de A en la ecuación vectorial. El sentido de la velocidad de B es hacia la izquierda debido a que es la resultante en la ecuación.
De Ec(3) se despeja la velocidad angular de la barra 3

; El sentido de giro se determina de la siguiente manera:
Como dato arrojado del polígono, la Velocidad VB/A se dirige hacia abajo y su punto de referencia es A (el vector se lee: velocidad de B con respecto de A), por lo tanto hacemos girar la barra 3 alrededor del punto de referencia dándonos como resultado un sentido de giro a favor de las manecillas del reloj
Contando con la velocidad angular 3 es ahora factible resolver la Ec(1):

Ec(1)

Ahora bien, las únicas dos incógnitas existentes son las de la velocidad de G, debido a lo siguiente:

VA y VG/A Se conoce magnitud y dirección.

El sentido de la velocidad VG/A es hacia abajo, esto porque la velocidad angular 3 gira a favor de las manecillas del reloj y el punto de referencia sigue siendo A.

Nota: siempre hay que recordar que se esta trabajando con una escala, por lo tanto los resultado medidos en el polígono deben ser multiplicados por dicha escala.